파동 방정식

## 개요

**파동 방정식**(Wave Equation)은리학과 공학에서 파동 현상, 즉 진동이나 에너지 공간을 따라 전파되는정을 수학적으로 기술하는 **편미분방정식**(DE)의 대표적인 예이다. 이 방정식은 음파, 전자기파, 수면파, 지진파 등 다양한 자연 현상의 모델링에 사용되며, 고전역학, 전자기학, 양자역학 등 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

파동 방정식은 시간과 공간에 대한 두 번째 편미분을 포함하며, 선형이고 동차적인 성질을 가지는 경우가 많다. 이 문서에서는 파동 방정식의 기본 형태, 유도 과정, 해법, 물리적 의미, 그리고 응용 분야를 중심으로 설명한다.

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## 기본 형태

일차원 공간에서의 파동 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$

여기서:
- $ u(x, t) $: 위치 $ x $와 시간 $ t $에서의 파동의 변위 (예: 줄의 진동 높이)
- $ c $: 파동의 전파 속도 (매질의 성질에 따라 결정됨)

이 방정식은 **라플라스 방정식**이나 **열 방정식**과 함께 편미분방정식의 세 가지 기본 유형(쌍곡형, 포물선형, 타원형) 중 **쌍곡형 편미분방정식**에 속한다.

고차원으로 확장하면, 예를 들어 3차원 공간에서는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u
$$

여기서 $ \nabla^2 $는 라플라시안 연산자로,
$$
\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
$$
를 의미한다.

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## 유도 과정 (일차원 경우)

파동 방정식은 예를 들어, 얇은 줄(string) 위에서의 진동을 모델링하면서 유도할 수 있다.

1. **가정**: 줄은 균일하고, 장력 $ T $를 가지며, 질량 선밀도 $ \rho $를 가진다.
2. **뉴턴의 제2법칙 적용**: 줄의 작은 구간에 작용하는 힘은 장력의 수직 성분 차이에 의해 결정된다.
3. 수직 방향의 힘은 $ T \left( \frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x) - \frac{\partial u}{\partial x}(x) \right) $로 근사할 수 있고, 이는 뉴턴의 법칙에 따라 질량 $ \rho \Delta x $와 가속도 $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $의 곱과 같다.
4. $ \Delta x \to 0 $의 극한을 취하면 다음 방정식을 얻는다:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$

여기서 $ c = \sqrt{\frac{T}{\rho}} $로 정의하면, 위의 기본 형태와 일치한다.

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## 일반해 (D'Alembert의 해)

일차원 파동 방정식의 가장 유명한 해는 **D'Alembert의 해**(D'Alembert's solution)이다. 이 해는 다음과 같이 표현된다:

$$
u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)
$$

여기서:
- $ f(x - ct) $: 오른쪽으로 속도 $ c $로 전파되는 파동
- $ g(x + ct) $: 왼쪽으로 속도 $ c $로 전파되는 파동

이 해는 임의의 두 번 미분 가능한 함수 $ f $와 $ g $에 대해 원래 방정식을 만족한다. 이는 파동이 매질을 따라 **형태를 유지하면서 전파**된다는 직관적인 의미를 제공한다.

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## 경계 조건과 초기 조건

파동 방정식의 해를 구하려면 일반적으로 다음 조건이 필요하다:

- **초기 조건**:
  $$
  u(x, 0) = \phi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x)
  $$
  초기 변위와 초기 속도를 지정한다.

- **경계 조건**:
  - 고정 끝: $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $ (예: 양 끝이 고정된 줄)
  - 주기적 경계 조건, 자유 경계 조건 등도 가능

이러한 조건을 바탕으로 **분리변수법**(Separation of Variables)을 사용하여 푸리에 급수 형태의 해를 구할 수 있다.

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## 해법 방법

파동 방정식의 해를 구하는 주요 방법은 다음과 같다:

### 1. D'Alembert 해법
- 무한 영역에서의 해에 적합
- 해를 파동의 전파 형태로 직접 표현 가능

### 2. 분리변수법
- 유한 구간에서의 경계값 문제에 적합
- 해를 $ u(x, t) = X(x)T(t) $ 형태로 가정하여 상미분방정식으로 분리
- 고유값 문제를 통해 사인/코사인 함수 기반의 푸리에 급수 해를 얻음

### 3. 푸리에 변환법
- 무한 또는 반무한 영역에서 사용
- 공간 변수에 대해 푸리에 변환을 적용하여 상미분방정식으로 전환

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## 물리적 의미와 응용

파동 방정식은 다양한 물리적 현상을 설명하는 데 사용된다:

- **음파**: 공기 중 압력의 변화를 모델링
- **전자기파**: 맥스웰 방정식에서 유도되는 전자기파의 전파
- **지진파**: 지각 내에서의 탄성파 전파
- **양자역학**: 슈뢰딩거 방정식은 파동 방정식과 유사한 구조를 가짐

또한, 비선형 파동 방정식(예: KdV 방정식)은 솔리톤(soliton)과 같은 비선형 파동 현상을 설명하는 데 사용된다.

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## 참고 자료 및 관련 문서

- [편미분방정식](/wiki/편미분방정식)
- [열 방정식](/wiki/열_방정식)
- [라플라스 방정식](/wiki/라플라스_방정식)
- [푸리에 급수](/wiki/푸리에_급수)
- [D'Alembert의 원리](/wiki/D'Alembert의_원리)

### 외부 참고
- Strauss, W. A. (2008). *Partial Differential Equations: An Introduction*. Wiley.
- Haberman, R. (2013). *Applied Partial Differential Equations*. Pearson.

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파동 방정식은 자연계의 동적인 현상을 이해하는 데 필수적인 수학적 도구이며, 그 해법과 해석은 현대 과학과 공학의 기초를 이룬다.